在学习数列时我们会遇到这么一种递推式，如：

其对应的特征根方程为，求出特征根，于是得出，然后...

"等等，你一步究竟是为什么呀?"

(资料图片)

"你记住这么个结论就行了，方便于你解题，考试不用你推导!"

其实这是很多人都尚未解决的疑点，今儿不妨先脱离教条主义的束缚，让我们一探究竟！

ps:笔者虽然还不知道前人究竟是怎么想到这个方法的，但我可以尽我所能把这其中的逻辑以及这个方法的合理性讲清楚，详见下文~

由于这是一个二阶递推，因此我们最初的想法是考虑将其移项化为

，然后令是等比数列完成初步降阶

(也就是把含3项间的关系向含两项间的关系转化，降低难度)

因此，我们需要一个助手来帮我们化成上述形式，因此一位名叫"多项式"的助手来也！

请来的助手长这样：

然后其进行了如下的骚操作变换：

"递推式"小兄看后瞬间学会了，于是化成了

于是助手的这一帮助以巨大的成功告终！

但是...其实"递推式"小兄很懒，因为他只看到了助手最开始和最后的模样，不过我们还真得庆幸他在中间开小差了，毕竟中间的过程正是小兄学不会的！

ps:下面的文字可能会啰嗦繁琐些，可以粗略浏览，后面那张图是最重要的

这个故事我想了许久才造出来的，姑且就称为《小兄的小差》吧，有些尬()

先来解释下为什么助手能教会小兄？

这是助手的变形：

由于每一步推导都是充要的，因此可以选择省略中间过程，得：

现在我们把中间的过程先抛之脑后，但看上面这一推导。我们发现，如果将换成，那么这一推导的充要性依然成立

因为我们可以通过这么一条路径完成：

在这条路径中进行上述的替换是没有任何问题的，因为多项式的运算可以提取系数①，拆解某一项(这里的拆解指如这种运算)②。而①②运用到递推式中也是可行的，因此，类比上式，我们进行替换得到：

嗯，这很完美！但关键问题来了，既然助手能帮上忙，那为啥又不让小兄从头到尾学完呢？

有意思的是我们请来的助手虽看上去像个形式记号

(瞧上文，不就是把换成嘛，这么简单小兄当然能学会了)

但我们利用的正是形式记号不同于原先递推式的功能！

我们来看到助手中这诡异的第二步！

他居然会因式分解！

这点就无法被小兄学到，因为把一个高次式分成若干个低次式是助手的独有功能，如，而递推式中的只是一次的，因此这种明显就违背递推式的运算法则了，递推式是一次，只能进行前文提到的两种运算：提取系数①，拆解某一项(这里的拆解指如这种运算)②

这就是为什么说是形式记号，因为我们只case这3者在以的形式出现的情况，也只有当这种形式出现时才能类比到递推式的运算中！

而这一形式记号不只是被凑出来的，正是因为它有把一个高次式分成若干个低次式的独有功能，才完成了由向的转化！

仔细思考会发现这个过程极其的微妙。

如上图，绿色框框部分是小兄能够学会的(也就是两种运算见可以类比的)，红色部分是助手的独有功能。

也就是说助手有两种途径由到；而小兄只有一种途径由到。我们请出助手的目的，正是想利用了助手的独有功能，让他更快捷地走到，然后再用小兄能学会的方式(也即变形至两种运算法则相同时)教会他。

我的语言表述可能还不太形象，但上面的这幅图一定2要仔细斟酌其丰富内涵！其涵盖了特征根方法的底层逻辑！

因此，现在助手教会了小兄第一步，变形为：

于是是以为首项，3为公比的等比数列，即

①

同理，我们借助助手，化为：

只取第一步和最后一步进行类比，有：

于是是以为首项，2为公比的等比数列，即

②

联立①②得：

利用助手这一独有的功能，我们对其进行拓展

设满足m阶线性递推：(~表系数)，其对应的特征多项式(助手)为：

有这么个记号对应：

现在利用助手的独有功能快速转化

设该多项式的根为

那么根据因式定理，其可以分解为：

取定其中一个因式，如取，将剩余部分乘入得：

即

对比左右两边，我们发现左边多出一个t，右边多出一个。现在不妨事先思考：倘若我们将左边展开，那么左边的展开式每一项一定会比右边的展开式对应项高1次！(因为多乘了个t)

因此在这一(可类比/模仿的)步中将该记号替换回，即得到其中一个等比数列。

同理，把每个特征根都用一遍，就能得到n个等比数列，以此解方程组即得。

ps:当然，这只是针对一般情况，特殊情况如重根、复数根之类的我们先放一边。能利用特征多项式(助手)的独特功能推广到这一般情况已经是一步质的飞跃了！

另外，特征多项式(助手)在解线性微分方程时也会用上。

引理：(分离变量易得)

比如解微分方程

同样，我们请出助手

只取第一步和最后一步进行类比，有：

这时恰比高一阶，于是作换元得：

即①

同理，助手再进行另一种变形：

只取第一步和最后一步进行类比，有：

这时恰比高一阶，于是作换元得：

即②

由①②得：

ps:这里的仍是任意常数，只是区别于(在解上述方程组中有对应关系)

利用助手这一独有的功能，我们对其进行拓展

设m阶齐次线性微分方程：(~表系数)，其对应的特征多项式(助手)为：

有这么个记号对应：

现在利用助手的独有功能快速转化

设该多项式的根为

那么根据因式定理，其可以分解为：

取定其中一个因式，如取，将剩余部分乘入得：

即

对比左右两边，我们发现左边多出一个t，右边多出一个。现在不妨事先思考：倘若我们将左边展开，那么左边的展开式每一项一定会比右边的展开式对应项高1次！(因为多乘了个t)

因此在这一(可类比/模仿的)步中将该记号替换回，即得到其中一组解(u为对那个左右刚好差一阶的部分换元)。

同理，把每个特征根都用一遍，就能得到n组解，以此解方程组即得。

这里顺便再推广到非齐次线性微分方程：

设(g(x)为待定的函数)，代入得：

待定g(x)，令上面红色部分相等，即

我们发现恰好就是原微分方程的一个解，而由于g(x)是待定的，因此取其中一个解即可(即非齐次特解，也即原方程的一个解)

于是上上式红色部分消掉，就得：

这就是关于的齐次线性微分方程了，因此可能特征根(助手)解之。

又因为前面所设，因此u就是齐次时的通解(即将f(x)去掉后的解)，g(x)为非齐次时的特解(即原方程的一个解)

这便是结论"非齐次通解=齐次通解+非齐次特解"的由来。

更多的例子参考视频：

【乐正垂星】母函数是可以被理解的？！

ps:视频作者是位良心的up，建议关注哦

万万没想着，看着令人头大的离谱的定理背后居然有如此惊人、微妙的数学原理！不妨做一名知识的探索者，在空闲之时尝试跳出题海去发掘那些定理背后的底层逻辑，还原数学一份优雅的美感！